Tight immersions - 5

张映射和浸入

紧随陈省身和 \text{Lashof} 发表论文的第一年中，最小绝对全曲率浸入理论经历了实质性的发展和重构. 由于此概念是凸性的推广，于是 \text{Kuiper [5][6]} 一开始将之称为“凸浸入”. 在其一个有双片性（ttp）的引言的猜想中，\text{Banchoff [1]} 首次使用 \underline {\text{tight}} 这个术语. 1962 年，就半空间的交以及同调群诱导单射两方面，\text{Kuiper [6]} 确切阐述了张性 \underline {\text{tightness}} . 此等价描述的方式有明显的优势，因为它适合顶集 \text{top-set} 方法. 并且它使得张性成为射影变换下的不变量. \text{Kuiper [6]} 指出他的表述等价于：极小绝对全曲率对于流形 M 而言就是满足如下条件：

\text{3A} 条件： M 的 \text{Morse} 数 \gamma 等于在某些域 F 下的 \text{Betti} 数 \beta(M;F) 的和.

他发现任何二维曲面当 F=\mathbb{Z}_2 满足这个条件. 假设 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m 是张浸入，当F=\mathbb{Z}_2时满足 \text{3A} 条件.若超曲面 \pi 是某非退化高度函数的水平集（level set），且 h 是由 \pi 决定的一个闭半空间，由定理 2. 1，映射

H_* (f^{-1}h; \mathbb{Z}_2)\rightarrow H_* (M;\mathbb{Z}_2)

是单射. 这启发了如下关于张性的定义， \text{Kuiper [13]} . （假设拓扑空间都是 \text{Hausdorff} 的.）

定义 5. 1 紧空间 X，映射 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的，若对于 \mathbb{R}^m 任意一个闭半空间 h ，诱导的同态

H_* (f^{-1}h; \mathbb{Z}_2)\rightarrow H_* (X;\mathbb{Z}_2)

在 \text{Cech} 同调中是单射. \mathbb{R}^m 的子集成为张集 \text{tight set} ，若它的包含映射是张的.

案 5. 2 （a） 使用 \text{Cech} 同调是受启发于其连续性质，这可以消除由非退化高度函数决定的半空间的依赖. 当然，对于可三角剖分空间（尤其是光滑流形），\text{Cech} 同调与奇异同调是一致的. 于是，此定义将张性的定义拓展了到了光滑浸入流形的范畴之外.

案 5. 2 （b） 张性是射影不变性. 由此定义很明显只需说明在仿射空间 \mathbb{A}^m 上去验证，如果 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的，而不是在度量空间 \mathbb{R}^m 上验证. 通过对仿射空间 \mathbb{A}^m 添加当做新点的平行线等价类，可以使其成为闭的空间，因此得到实射影空间 \mathbb{RP}^m ，并且 \mathbb{A}^m 作为 \mathbb{RP}^{m-1}\subset \mathbb{RP}^m 的补集自然嵌入. 如果 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的且 \sigma:\mathbb{RP}^m \rightarrow \mathbb{RP}^m 是射影变换，使得 \sigma(fX) 落入 \mathbb{A}^m 中，则 \sigma f 仍然是张的. 这是由定义立即可以得到的，对于每一个半空间 h\subset \mathbb{A}^m ， (\sigma f)^{-1}(h)=f^{-1} (\sigma^{-1}h)=f^{-1} h' ， h' 是某个合适的半空间.

案 5. 2 （c） 张映射的正交投影也是张的. 假设 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的， \phi: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k 是正交投影. 那么 \phi \circ f: X \rightarrow \mathbb{R}^k 是张的. 为了看清这一点，令 h:=\left\{ \ell_p \leq r \right\} 是 \mathbb{R}^k 的闭半空间. 由此给出 \mathbb{R}^m 内的半空间 h'= \phi ^{-1}h . 因此， (\phi \circ f)^{-1}h=f^{-1}h' ，且 \phi \circ f 的张性由 f 的张性得出. 类似地，设 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的，i: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^{m+j} 是是包含映射，则 i \circ f: X \rightarrow \mathbb{R}^{m+j} 是张的. 如果 \mathbb{R}^{m+j} 是半空间且 h'=h \cap \mathbb{R}^{m} ，则 (i \circ f)^{-1}h= f^{-1}h' .

我们接下来的目标是证明张性等价于极小绝对全曲率浸入满足 \text{3A} 条件的流形. 此处最重要的点是展示极小绝对全曲率浸入，同调的单射条件在由退化、非退化高度函数决定的半空间上成立. 这个事实简化了许多论述. 主要的原因在于 \text{Cech} 同调的连续性以及如下引理.

引理 5. 3 令 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧流形的浸入. 假设 M 的开子集 U 包含 M^r (p) 其中 p\in \mathbb{S}^{m-1}，r\in \mathbb{R} ，则存在非退化高度函数 \ell _q 以及实数 s 满足

M^r (p) \subset M^{s-}(q) \subset M^{s}(q) \subset U.

\color{grey}{M^r (p)} 的定义见第 2 节.
这个定理展现了由高度函数决定的 \color{grey}{M^r(p)} 连续性.

证：因为 M^r (p) 紧且 U 开，显然 \exists\ \varepsilon >0 使得 M_{r+ \varepsilon}\subset U . 令

K:=\max_{p\in \mathbb{S}^{m-1},\ x\in M} \ell_p(x)

设 p' 是与 p 正交的单位向量，令

q=\cos \alpha \ p+\sin \alpha \ p'

于是

p=\sec \alpha \ q-\tan \alpha\ p'

对于 \forall x\in M ，

|\ell_p(x)-\ell_q(x)|=|\left< p-q,f(x) \right>|=|\left< (\sec \alpha \ q-1)q-\tan \alpha\ p',f(x) \right>|

\leq |\sec \alpha -1| |\ell_q(x)|+| \tan \alpha | |\ell_{p'}(x)|\leq (|\sec \alpha -1| +| \tan \alpha |)K

选择充分小的 \alpha ，使得

|\sec \alpha-1| < \varepsilon /4K

| \tan \alpha | < \varepsilon /4K

对任意 x\in M ，因此

M^r (p) \subset M^{s-}(q) \subset M^{s}(q) \subset U

该式对于 \forall q\in \mathcal{N}(p) （由 \alpha 决定 \mathbb{S}^{m-1} 上的邻域）都成立，且 \ell_q 对于某些 q 非退化. \blacksquare

接下来我们证明本节的主要结论 \text{Kuiper [13]}.

定理 5. 4 紧流形 M 的浸入 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m 是张的，当且仅当 \text{Morse} 数 \gamma (M)= \beta (M;\mathbb{Z}_2) 且 f 有极小绝对全曲率.

证：若 f 是张的， \ell_p 是非退化高度函数，由定理 2. 1 ，\ell_p 恰有 \beta=\beta (M;\mathbb{Z}_2) 个临界点. 因此， \beta \geq \gamma ，且 \tau (M,f)=\beta . 但是，由 \text{Morse} 不等式， \beta \leq \gamma ，于是 f 有最小绝对曲率 \gamma .

反之，若 f 有最小绝对曲率 \gamma ，且 \gamma=\beta (M;\mathbb{Z}_2) ，则由定理 2. 1 ，如下同态单：

H_*(f^{-1}h;\mathbb{Z}_2)\rightarrow H_*(M;\mathbb{Z}_2)

本书讨论的都是 \color{grey}{\mathbb{Z}_2} 系数同调群，如果没有特别声明的话，就省略了.

对于任意由非退化高度函数所决定的半空间成立. 假设

f^{-1}h= M^r (p),\ p\in \mathbb{R}^m,\ r\in\mathbb{R}.

我们必须证明该诱导同态在此情况下仍然是单射. 此处需要我们使用于 \text{Cech} 同调的连续性. 我们希望制造一个嵌套的半空间序列 \left\{ h_i \right\}_{i\in \mathbb{N}^*} 满足

(5.1)\qquad f^{-1}(h_i) \supset f^{-1}(h_{i+1}) \supset ... \supset \bigcap_{j=1}^{\infty} f^{-1}(h_j) =M^r(p)

使得系数群为 \mathbb{Z}_2 同调群同态是一个单射

(5.2)\qquad H_*(f^{-1}h_i;\mathbb{Z}_2)\rightarrow H_*(M;\mathbb{Z}_2)\text{ is injective},\ i=1,2,...

如果（5. 1）和（5. 2）都满足，则

(5.3)\qquad H_*(f^{-1}h_i)\rightarrow H_*(f^{-1}h_j)\text{ is injective},\ i>j.

由 \text{Cech} 同调的连续性（见 \text{Eilenberg-Steenrod[1, p.261]} ）可知

H_*(M^r (p))= \lim^{\small\leftarrow}_{i \rightarrow \infty}{H_*(f^{-1}h_i)}

由（5. 3）和 \text{Eilenberg-Steenrod[1, p.261]} 中的反极限定理 3. 4 可得

？

H_*(M^r (p))\rightarrow H_*(f^{-1}h_i)\text{ is injective},\ i=1,2,...

对我们构造的序列 \left\{ h_i \right\} 使用引理 5. 3 ，找到满足如下条件的 \ell_q 和 s ：

M^r (p) \subset M^{s-}(q) \subset M^{s}(q) \subset M^{(r+1/i)-} (p)

在引理 5. 3 中的开集 U 应该用靠前的集合 M^{s-}(q) 所代替（除了 i=1 ，当 U=M^{(r+1)-}(p) 时）. 则 h_i 是由 \ell_q \leq s 在第 i 步所构造. 注意到（5. 2）成立，这是因为 \ell_q 非退化且 h_i 逐级嵌套. 最终，因为

f^{-1}(h_{i+1}) \subset M^{(r+1/i)} (p)

显然有

\bigcap_{j=1}^{\infty} f^{-1}(h_j) =M^r(p)

证毕. \blacksquare

案 5. 5 目前已知的极小绝对全曲率浸入都满足 \gamma (M)= \beta (M;\mathbb{Z}_2) . 见 \text{Kuiper[13, p. 107]} . 但是， \text{Kuiper and Meeks [1]} 构造了对于每个 n\geq 4 时， \mathbb{R}^{n+1}中的超曲面 M 满足 \tau=12 且 \beta (M;\mathbb{Z}_2)=8.

对于连通紧流形 M ， \text{Morse[1, p. 383]} 展示了这样的结论：如果非退化函数 \phi 有不止一个极大值或极小值，于是可以构造非退化极函数 (\underline {\text{polar}}) \phi^* （即，恰有一个极大值与极小值），并且拥有较 \phi 更少的临界点. 由此断定，若 \mu(\phi)= \gamma (M) ，则 \phi 是极函数.

命题 5. 6 M 是 2 维连通紧曲面，则

(a)\quad \gamma (M)= \beta (M;\mathbb{Z}_2) =4-\chi (M).

(b)\quad \phi 是 M 上非退化函数， \mu(\phi)= \gamma 当且仅当 \phi 是极函数.

证：我们同时证明这两个结论. 正如前述，若存在非退化函数 \phi 有 \mu(\phi)= \gamma (M) ，则 \phi 是极函数. 反之，若 \phi 是极函数，则 \mu(\phi)_0= \beta_0 (M;\mathbb{Z}_2)=1 且 \mu(\phi)_2= \beta_2 (M;\mathbb{Z}_2)=1 . 由此以及著名的 \text{Morse} 关系式（ \text{Milnor [3, p. 29]} ）

\sum_{k=0}^2 (-1)^k \mu_k (\phi)=\sum_{k=0}^2 (-1)^k \beta_k (M;\mathbb{Z}_2)=\chi(M)

于是有 \mu_1 (\phi)=\beta_1 (M;\mathbb{Z}_2) 也成立. 因此，若 \phi 是 M 上极非退化函数，则 \mu(\phi)=\beta (M;\mathbb{Z}_2) . 于是，M 上任意非退化函数至少有 \beta (M;\mathbb{Z}_2) 个临界点. 于是我们得到结论 \gamma= \beta (M;\mathbb{Z}_2) =4-\chi ，且当 \phi 极，则 \mu(\phi)=\gamma. \blacksquare

此命题以及定理 5. 4 可知如下推论.

推论 5. 7 M 是 2 维连通紧曲面，浸入 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m . 则以下断言等价：

(a)\quad f 张.

(b)\quad f 是极小绝对全曲率.

(c)\quad 每一个非退化线性高度函数是极函数.

\text{Banchoff [1]} 引入了双片性，极大程度地利用了上面推论的优势.

定义 5. 8 f:X\rightarrow \mathbb{R}^m 是连通紧拓扑空间的的映射，所谓双片性（\color{red} {\text{TPP}}）就是对于任意闭半空间 h 都满足 f^{-1}(h) 是连通的.

对于嵌入在 \mathbb{R}^m 中的空间 X ，双片性意味着每个超平面 \pi 将 X 至多分成两个部分. 因为 \beta_0(f^{-1}h;\mathbb{Z}_2) 是 f^{-1}h 的连通分支数，当 f 是张的，则对于所有半空间 h\subset \mathbb{R}^m ，\beta_0(f^{-1}h;\mathbb{Z}_2) \leq 1 ，于是 f 满足双片性. 故有——

定理 5. 9 f:X\rightarrow \mathbb{R}^m 连续， X 是紧连通空间. 若 f 张，则 f 具有双片性.

在例 5. 23，我们会看到由 \text{Kuiper} 给出的三维球到 \mathbb{R}^4 的光滑双片性嵌入非张. 由推论 5. 12 将会知，双片性与张性等价，在无边二维紧流形的光滑浸入成立. 事实上， \text{Kuiper[13, p. 10]} 指出，这两种性质等价对于二维紧流形的连续映射也成立（\text{Lastufka[1, p. 396]}）. 然而，双片性对于带边二维流形的嵌入，比张性条件弱（见例 5. 23）.

当双片性弱于张性时，此条件就有简易的好处. 更进一步，这足以证明 \text{Little - Pohl} 在极大余维数下张浸入的结果，见第 10 节.

值得一提的是，双片性在开半空间而非闭半空间公式化. 此处的证明来自 \text{Lastufka [1]} .

定理 5. 10 f:X\rightarrow \mathbb{R}^m 连续， X 是紧空间. 则 f 具有双片性当且仅当 f^{-1}(\text{Int } h) 是连通的，对于所有半空间 h\subset \mathbb{R}^m 都成立.

证：假设： f 是 \text{TPP} ； h:=\left\{ \ell _p<r \right\} 开半空间； f^{-1}(\text{Int } h) 非空. 取 x\in f^{-1}(\text{Int } h) ，则 \ell _p(x)=r-\varepsilon 对于某 \varepsilon>0 成立. 考虑 h_k=\left\{ \ell _p(x)\leq r-\varepsilon/k \right\} 闭半空间序列 \left\{ h_i \right\}_{i\in \mathbb{N}^*} . 由 \text{TPP}，f^{-1}(h_k) 连通，于是， \cap f^{-1}(h_k) 包含点 x 故非空. 因此如下并集是连通集的并集连通，

\bigcup f^{-1}(h_k)= f^{-1}(\text{Int } h).

相反，假设 f^{-1}(\text{Int } h) 连通，对于所有半空间 h\subset \mathbb{R}^m 都成立. 假设存在闭半空间 h:=\left\{ \ell _p\leq r \right\} ，有 f^{-1}(h) 不连通. 那么，存在两个不连通、相对闭（relatively closed）f^{-1}(h) 的子集，满足 f^{-1}(h)=A \cup B . 因为 f^{-1}(h) 闭，于是 A,B 也是闭的. 由于 X 是正规拓扑空间，于是可是开邻域分离： A \subset V,\ B \subset W. 令 U:=V \cup W ，则 f^{-1}(h) 落在 U 中，并且由于其紧性，则 \exists \ \varepsilon >0 ，使得 U \supset f^{-1}(\text{Int } h') ，其中 h':=\left\{ \ell_p <r+\varepsilon \right\}. 这意味着 f^{-1}(\text{Int } h) 不连通，这与开始的假设矛盾. \blacksquare

\color{grey}{F\subset Y} 对于 \color{grey}{Y \subset X} 是 \color{grey}{\text{relatively closed}} 的充要条件是存在闭集 \color{grey}{H\subset X} ，满足 \color{grey}{F=H \cap Y.}

定理 5. 11 设f:X\rightarrow \mathbb{R}^m 浸入， X 是紧连通空间. 则 f 具有双片性当且仅当对于任意的非退化线性高度函数都是极函数（即，有一个最大值，一个最小值）.

由此结论以及推论 5. 7 即知如下结论：

推论 5. 12 浸入 f:M\rightarrow \mathbb{R}^m 是 \text{TPP}， M 是紧连通二维曲面，则 f 张.

接下来我们通过一系列初等命题证明定理 5. 11.

命题 5. 13 f:X\rightarrow \mathbb{R}^m 浸入， X 是紧连通流形. 非退化线性高度函数 \ell_p 是极函数当且仅当 f^{-1}(h) 连通，对于所有被 \ell_p 所决定的半空间 h 都成立.

证：假设 h:=\left\{ y\in \mathbb{R}^m\ | \ \ell_p \geq r \right\} 满足 f^{-1}(h) 至少有 V_1 和 V_2 两个连通分支. 于是 \ell_p 至少分别在 V_1 和 V_2各有一个极大值. （但极函数按照定义只有一个极大值）

反之，假设非退化 \ell_p 有两个极大值点 x_1 与 x_2 （ \ell_{-p} 则有两个极小值点），所对应的高度分别为 r_1 \leq r_2 . 由引理 1. 2，即 \text{Morse} 引理，可知存在 x_1 的邻域 U 将 x_1 与 x_2 分离，并且对于充分小的 \varepsilon >0 ，闭集 V= \left\{ x\in \overline{U}\ | \ \ell_p (x)\geq r_1-\varepsilon \right\} 包含在 \text{Int }U. 令h:=\left\{ y\in \mathbb{R}^m\ | \ \ell_p (x)\geq r_1-\varepsilon \right\} ，于是 V 是 f^{-1}(h) 的一个分支，但是 x_2\in f^{-1}(h) -V . 于是， f^{-1}(h) 不连通. \blacksquare

为了完成定理 5. 1 1的证明，我们必须说明每一个非退化高度函数是极的，当且仅当 f^{-1}(h) 连通， h 为高度函数所决定的半空间. \text{Cech} 同调就可以解决这一问题（正如在定理 5. 4中），不过如下引理可以给出一个较为初等的证明.

引理 5. 14 (\text{Kuiper [4, p. 14]}) f:M\rightarrow \mathbb{R}^m 是浸入. 假设 W\subset U \subset \overline{U} \subset M ，其中 U 是一个开集， \exists \ p\in \mathbb{S}^{m-1} 满足：

\[\ell_p(x)\begin{cases} =\gamma,\quad x\in W \\<\gamma,\quad x\in \overline{U}- W \end{cases}\]

那么存在 p 点的一个邻域 N\subset\mathbb{S}^{m-1} ，使得当 q\in N 时， \ell_q 假若在 \overline{U} 有最大值，则一定是在 \text{Int }U 中达到.

证：设 \max\ell_p\big{|}_{\partial U}=\gamma -3 \varepsilon ，存在 p 的邻域 N\subset\mathbb{S}^{m-1} 使得 \forall \ q\in N,\ \forall \ x\in \overline{U} ，满足

|\ell_q(x)-\ell_p(x)|< \varepsilon

因此，对于 x\in W ，

\color{grey}{|\ell_q(x)-\gamma|<\varepsilon}

\ell_q (x)\geq \gamma -\varepsilon ，于是 \ell_q 假若有最大值，则一定在 \text{Int }U 中达到. 注意到若 \ell_p 非退化，这意味着 \ell_p 在 U 点出达到极大值. \blacksquare

\underline{\small{定理 5. \ 11 的证明}}:

假设 f 是 \text{TPP}，则由命题 5. 13，则每一个非退化线性高度函数 \ell_p 是极函数.

反之，假设 f 非 \text{TPP}，则存在半空间 h 使得 f^{-1}(h) 非连通. 假设 h:= \left\{ \ell_p \geq \gamma \right\} ，令 V_1 与 V_2 是 f^{-1}(h) 的两个连通分支. 由于 V_1 与 V_2 紧，则各自存在开邻域 U_i 使得两者邻域分离. 假设 \ell_p 分别在 V_i 上取得 U_i 的最大值，对 U_i 应用引理 5. 14，则存在非退化 \ell_q ，其中 q 在 p 附近，\ell_q 在 U_i 都有极大值，故 \ell_q 非极函数. \blacksquare

有时候将 \text{TPP} 表达为支撑平面是实用的. 如下定义 (a) 与定义 4. 3 一致，当 f 是嵌入时.

定义 5. 15 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧流形 M 的浸入.

(a)\quad \pi\subset\mathbb{R}^m 为超曲面，穿过点 f(x) ，如果 f(M) 完全落在由 \pi 决定的闭半空间，则称 \pi 是 f(M) 位于 x 支撑平面.

(b)\quad 穿过 f(x) 的超平面 \pi 称作 f(x) 在点 x 的局部支撑（ \text{local support plane} ），如果存在 x 的邻域 U ，使得 f(U) 整个落在由 \pi 决定的闭半空间，且 f(\partial U) 落在此半空间的内部.

注意定义 4. 3 与该定义的区别. 定义 4. 3 直接探讨欧式空间内的子集，而不是一个流形浸入的像集.

“f(\partial U) 落在此半空间的内部”是必要的，否则在张环面（tight torus，由 \text{Kuiper} 构造，如下图）中， F_3 只能是 F_3 的内点的局部支撑平面.

定理 5. 16 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧流形 M 的 \text{TPP} 浸入，则每个局部支撑平面就是支撑平面.

证：假设 \pi 是由方程 \ell_p=\gamma 决定的局部支撑平面，满足

\[\ell_p(x)\begin{cases} \leq\gamma,\quad x\in U \\<\gamma,\quad x\in \partial U \end{cases}\]

如果 \pi 不是一个支撑平面，则存在点 y\in M 满足 \ell_p(y)>\gamma . 若 h:=\left\{ \ell_p \geq \gamma \right\} ，则 f^{-1}{h} 至少有两个连通分支，其中一个包含于 U ，另一个包含于 M-\overline{U} ，这与双片性矛盾. \blacksquare

注意到该定理的逆命题不成立. 若 f: \mathbb{S}^1\rightarrow \mathbb{R}^2 是浸入：以恒定速度围绕欧几里得圆两次，则每一个局部支撑平面是一个全局支撑平面，但是 f 并非 \text{TPP} .

\color{grey}{f:e^{i \theta}\mapsto e^{2i \theta},\ f^{-1}: z^2 \mapsto \pm z} 显然 \color{grey}{f^{-1}(h)} 并非连通.

类似的例子有 f : \mathbb{T}^2\rightarrow \mathbb{R}^3 . 但是，但是当 f 是一个嵌入的时候，逆命题成立.

定理 5. 17 令 f:M \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧流形 M 的嵌入，则如下叙述等价：

\quad (a)\quad f 是 \text{TPP} 的.

\quad (b)\quad 局部支撑都是全局支撑.

\quad (c)\quad 非退化高度函数的所有极值是都是绝对最值（取绝对值后是最值）.

证： (a)\Rightarrow (b) 由上一个定理立即可知.

(b)\Rightarrow (c) ：假设非退化高度函数 \ell_p 在点 x 存在极值，但非绝对最值，则由 \text{Morse} 引理， f(x) 处的局部支撑平面不是全局支撑平面.

(c)\Rightarrow (a) ：假如 f 非 \text{TPP} ，则由定理 5. 11，存在非退化的高度函数 \ell_p 至少有两个极大值. 若这两个极大值拥有不同的高度，则证明完毕. 故 \ell_p(x_1)=\ell_p(x_2) 是 \ell_p 在 M 上的最大值. 不妨令 f(x_1) 是欧氏空间的原点，且 \ell_p(x_1)=\ell_p(x_2)=0 . 令

• \varepsilon := |f(x_2)|
• q:=f(x_2)/ \varepsilon 是单位向量
• U_1:=f^{-1}(B(f(x_1),\varepsilon /3)),\ U_2:=f^{-1}(B(f(x_2),\varepsilon /3))

则 \ell_p 在 U_1 和 U_2 上的上确界分别是 \varepsilon/2 和 2\varepsilon/3. 令 N_1 和 N_2 是 p\in \mathbb{S}^{n-1} 的邻域，它们由引理 5. 14 施加于 U_1 和 U_2 给出. 令

p'=\cos \alpha \ p+ \sin \alpha \ q\in N_1 \cap N_2 ，其中对于某些 q\in (0,\pi/2) 成立. 则由引理 5. 14， \ell_{p'} 在 U_i(i=1,2) 都有极值. 但是若 y\in U_1 ，则

\ell_{p'}(y)=\ell_{p}(y)\cos \alpha +\ell_{q}(y) \sin \alpha \leq \frac{\varepsilon}{3}\sin \alpha.

另一方面， \ell_{p'}(x_2)= \varepsilon\sin \alpha. 因此，\ell_{p'} 在 U_i(i=1,2) 的两个极大值有不同的高度. 若 \ell_{p'} 退化，则存在非退化高度函数可以逼近 \ell_ {p'} ，使得其在 U_i(i=1,2) 的两个极大值也有不同的高度. \blacksquare

回忆 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是 \underline {\text{substantial}} （非囿，权且翻译之），若 f(X) 不包含在任何超平面内. \text{Kuiper [8]} 证明：双片性对流形 \text{substantial} 光滑浸入的余维数的上界有一定的要求.

\color{grey}{ f(X)} 不在任何超平面 \color{grey}{\pi\subset \mathbb{R}^m} 内指的是：设 \color{grey}{\eta \bot \pi} ，则 \color{grey}{\exists \ y\in f(X),\ \text{s.t. }\ \ell_\eta (y)>0. }

定理 5. 18 令 f:M^n \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧流形 \text{substantial} 光滑浸入，若 f 是 \text{TPP} 的，则 m\leq n(n+3)/2.

\color{grey}{n<m\leq n(n+3)/2} ，可见 \color{grey}{n} 有一个下界，即余维数 \color{grey}{m-n} 有上界.

证：设非退化 \ell_p 在 x 出达到绝对最大值（紧致流形上连续函数）. 不妨设 f(x) 是原点，因此 \ell_p (x)=0 . 由定理 3. 2，我们知道 p \bot f(M)|_{f(x)} ，则 \text{Hess}_{\ell_p}(X,Y)=\left< A_p X,Y \right> 在点 x 是负定的. 设 T_x^{\bot}M 记为 f(M) 在 f(x) 处的正交补空间（严格来说应记为 (f_*(T_{x}M))^{\bot} ），令 V 表示 T_xM 对称双线性形式的向量空间. 定义线性映射 \phi: T_x^{\bot}M \rightarrow V,\ q \mapsto A_q ，即

\phi (q)(X,Y)=\left< A_q X,Y \right>,\ X,Y\in T_xM.

回忆唐 [P. 109}：形状算子 \color{grey}{A_\eta :T_pM \rightarrow T_pM}
\color{grey}{H_\eta(X,Y):=\left< B( X,Y),\eta \right>=\left< A_\eta X,Y \right>} ，所以对称性显然的.

因为

\dim T_xM =m-n,\ \dim V=n(n+1)/2

于是，若满足

m-n>n(n+1)/2\quad \Longleftrightarrow \quad m>n(n+3)/2

则 \ker \phi 一定非平凡（这里是反证法）. 接下来我们只需证明双片性可以导出 \phi 是单的.

（再次反证法）假设 \exists\ q\in T_x^{\bot}M-\left\{ 0 \right\} ，且 A_q=0 . 令 z(t)=p+tq . 则 \forall \ t\in \mathbb{R},\ z(t)\in T_x^{\bot}M ，且

A_{z(t)}=A_p+tA_q =A_p,\ \forall \ t\in \mathbb{R}.

于是 \ell_{z(t)} 在 x 对任意的 t 都有非退化的极大值. 另一方面，因为 f 是 \text{substantial}（非囿），于是 \exists \ y\in M,\ \text{s.t. }\ \ell_q(y)\ne 0. 则

\ell_{z(t)}(y)=\ell_p(y)+t\ell_q (y)

并且选择合适的 t 可以使得 \ell_{z(t)}(y)>0 . 因此，此 \ell_{z(t)} 绝对最大值不在在 x 处取得（这与证明开头的假设矛盾），且由定理 5. 16 知， f 没有双片性. 矛盾. \blacksquare

在第 9 节，我们将会展示：当 m=n(n+3)/2 ，\text{Veronese} 嵌入 f:\mathbb{P}^n\rightarrow \mathbb{R}^m是张的以及非囿的. 因此，定理 5. 18 的上界无法再下降. 还有一个非同凡响的结论（\text{Kuiper [6]} 研究的是 2 维， \text{Little and Pohl [1]} 针对高维）：这种 \text{Veronese} 嵌入对于任意有着极大余维流形是唯一的双片嵌入. 证明将会在第 10 节给出. 最终，对于任意满足 1\leq k \leq n(n+1)/2 的整数 k ，存在一个张且非囿的嵌入，将 n 维流形映入 \mathbb{R}^{n+k} （见定理 9. 6）.

定理 5. 18 的证明方法，在加上 f 的张性，就会得到更强的结论（\text{Chern and Lashof [1]}）：

定理 5. 19 若 f:\mathbb{S}^n \rightarrow \mathbb{R}^m 光滑张的且非囿的浸入，则 m=n+1 .

证：令 \phi: T_x^{\bot}\mathbb{S}^n \rightarrow V 如定理 5. 18 之定义. 其证明可知，双片性（张性蕴含双片性）蕴含 \phi 是单射. 令 p,q\in T_x^{\bot}\mathbb{S}^n 线性无关，则 A_p 和 A_q 不是彼此的标量倍数. 于是由线性代数的知识可知，存在 t\in \mathbb{R} 使得 A_{z(t)} 非退化，且指数 k 满足0<k<n ，其中 z(t)=p+tq . 因此（推论 3. 3）， \ell_{z(t)} 在点 x 处有一个指数为 k 的非退化临界点，由推论 3. 5 ，存在 \text{Morse} 函数 \ell_{p'} 在 \mathbb{S}^n 上，有一个指数为 k 的临界点，这与张性矛盾. 于是我们得出 T_x^{\bot}\mathbb{S}^n 的维数仅为 1 . \blacksquare

? 存在 \color{grey}{Morse} 函数 \color{grey}{\ell_{p'}} 在 \color{grey}{\mathbb{S}^n} 上，有一个指数为 \color{grey}k 的临界点，这与张性矛盾.
由 \color{grey}{Morse} 引理，若 \color{grey}{Morse} 函数指数为 \color{grey}k ，则局部可视为马鞍面，则在鞍点处显然不满足双片性，故非张性.

当然，更强一点的结论依然成立：f:\mathbb{S}^n \rightarrow \pi\subset \mathbb{R}^{n+1} 将球嵌入到凸超曲面 \pi . 更进一步，只需假设 f 是张拓扑浸入就可以得到该结论（见第 8 节）.

接下来，我们将会给出该结论一个更一般的版本，并且将其应用于射影空间（定理 9. 4）. 此结论归功于\text{Kuiper [1]}.

令 (\beta_0,..., \beta_n) 为一组非负整数数组. 令 c(\beta_0,..., \beta_n) 为 n 变量对称双线性形式的线性族的最大维数，其中包含正定形式，如果 \beta_k=0 ，则该族没有指数为 k 的形式. 当然，在我们的文章中， \beta_k 将会是 M 的第 k 个 \mathbb{Z}_2 -\text{Betii} 数. 对于 \mathbb{RP}^n,\ \mathbb{CP}^n,\ \mathbb{HP}^n （ \mathbb{H} 是四元数）c(\beta_0,..., \beta_n) 是可计算的（\text{Kuiper [8, p. 232]}）.

定理 5. 20 若 f:M^n \rightarrow \mathbb{R}^m 光滑张的且非囿的浸入， M^n 是紧连通，\beta_j 是 M 的第 j 个 \mathbb{Z}_2 -\text{Betii} 数. 则

m-n \leq c(\beta_0,..., \beta_n) \leq n(n+1)/2.

证：继续沿用定理 5. 18 的记号，\phi: T_x^{\bot}\mathbb{S}^n \rightarrow V 单，于是余维数 m-n=\dim \text{Im} \phi . 向量空间 \text{Im} \phi 包含一个正定的双线性形式. 进一步，若 \beta_k=0 ，则 \text{Im} \phi 没有指数为 k 的形式，因为这意味着有一个指数为 k 的非退化高度函数的存在，与张性矛盾. 因此，

m-n =\dim \text{Im} \phi \leq c(\beta_0,..., \beta_n). \blacksquare

在 \text{Banchoff [5]} 中证明了对于 n\geq 3 且对于任意 m>n ，存在 \mathbb{S}^n 非囿多面体的嵌入到 \mathbb{E}^m ，且满足双片性. 这很清楚地说明了光滑性在定理 5. 18 的必要性. 即便假设 f 是张的，光滑性依然是必要的. \text{Banchoff [1]} 指出若 M 是一个紧曲面，则对于 M 张非囿多面体（ \text{tight substantial polyhedral} ）的嵌入 \mathbb{R}^m ，m 的上界为

m=\frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24 \chi (M)})

这个上界和 \color{grey}{\text{Haewood}} 数（图 \color{grey}G 嵌入曲面 \color{grey}S 的最小顶点数）很相似

\color{grey}{H_\chi = \left[ \frac{1}{2}\left(7+\sqrt{49-24 \chi (S)} \right) \right]}

( \color{grey}{\text{Shaun V. Ault, Understanding Topology, p. 216}} )

而且，这个上界除了 \text{Klein} 瓶之外的每个曲面都可以达到（ \text{Kuhnel [3]} ）.

接下来我们描述 \mathbb{P}^2 到 \mathbb{R}^5 的张非囿多面体嵌入.

例 5. 21 \mathbb{P}^2 到 \mathbb{R}^5 的张非囿多面体嵌入. 令 v_i(i=1,...,6) 是 \mathbb{R}^6 中的标准单位基向量. 则在图 5. 1 中 10 个三角形形成了一个射影平面，并落在 5 维平面内

\mathbb{E}^5=\left\{ x\in \mathbb{R}^6\ |\ \sum_{i=1}^6 x_i =1 \right\}

这是著名的 \mathbb{P}^2 6 - 顶点的单纯形. 因为此曲面共有线段 [v_i,v_j] 15 条，他与任意半空间的交都是连通的，故满足双片性. \text{Banchoff [1]} 还给出 \mathbb{T}^2 到 \mathbb{R}^6 的相似的非囿双片性嵌入，利用 7 - 顶点单纯剖分（图 5. 2）.

\text{Kuhnel [3]} 更进一步展示了：若 M 紧曲面，则存在从 M 到 \mathbb{R}^m光滑张的且非囿多面体嵌入，当且仅当：

• 当 M 是可定向的，则
  3\leq m \leq \frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24 \chi (M)})
• 当 M 不可定向且 \chi(M)\ne 0 ，则
  4\leq m \leq \frac{1}{2}(5+\sqrt{49-24 \chi (M)})
• 当 M 是 \text{Klein} 瓶，则
  4\leq m \leq 5.

对于紧致带边曲面，\text{Kuhnel } 也给出了类似的结论.

最后，利用 \mathbb{CP}^2 的9 顶点三角剖分图， \text{Kuhnel and Banchoff [1]} 给出一个张的多面体嵌入到 \mathbb{R}^8 .

\text{Banchoff [5]} ： \mathbb{S}^n 双片多面体嵌入到 \mathbb{R}^m\ (m>n+1) 非张. 事实上，正如之前所述， \text{Kuiper} 对于 \text{Chern-Lashof} 定理的变体，指出 \mathbb{S}^n 紧连续浸入到 \mathbb{R}^m 一定是一个凸超曲面. \text{Kuiper [8]} 修正了 \text{Banchoff } 所给出的例子： \mathbb{S}^3 光滑双片嵌入 \mathbb{R}^4，但却非张. 我们会在本节得出该结论，甚至还会给出一个更简单的例子：带边曲面嵌入，双片但非张. 首先，我们介绍一个常用的定义.

定义 5. 22 f:X \rightarrow \mathbb{R}^m 是紧连通拓扑空间 X 的映射，若 f 被称为 \underline{\text{k-tight} } （ k- 张），如果满足：对于任意闭半空间 h\subset \mathbb{R}^m ，以及对任意 i\leq k ，诱导同态

H_i(f^{-1}h)\rightarrow H_i(X),\quad \mathbb{Z}_2 \text{-Cech homology}

是单射.

当然， 0-张性其实就是双片性. 若 f:M \rightarrow\mathbb{R}^m 是紧流形的光滑浸入，则 f 是 k-张的，当且仅当每一个非退化线性高度函数 \ell_p 有 \beta_i(M;\mathbb{Z}_2) 个指数为 i\ (0\leq i \leq k) 的临界点.

例 5. 23 双片的，但非张的.

第一个例子（\text{Kuiper [13]} ），环带的双片性嵌入到 \mathbb{R}^3 非张（图 5）.

令 X 为 \mathbb{R}^3 中的环带：

X:=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ | \ x^2+y^2+z^2=1,\ z\in \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right]\right\}

显然 X 是双片的. 另一方面，令半空间

h:= \left\{ x\geq -\frac{3}{4} \right\}

则

H_1(X \cap h)= \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,\quad H_1(X)= \mathbb{Z}_2

于是 1 维同态的单性并不能成立. 关于带边的情况参见 ，\text{Banchoff [5]} ，\text{Kuhnel [2]-[5]}，\text{Lastufka [1]} ， \text{Rodriguez [1]-[2]} .

接下来，我们给出 \text{Kuiper } 的例子： \mathbb{S}^3 光滑双片嵌入 \mathbb{R}^4，但却非张. 此例由方程

\frac{x^2+w^2}{2}+y^2 +(z-(x^2+w^2))^2=1

给出. 此类型的代数的例子是由下述几何构造启发. 从以 y 轴为旋转轴的标准圆环开始（如图 5. 4 ），取下半圆环，并用光滑的帽子（凸曲面）地盖上开口端，当然从帽子到柱面的过渡是光滑的. 这个手术的过程是可以同时保持关于 xoz 平面、 yoz 平面对称.

于是我们给出一个曲面 S ，其方程为

(5.4)\qquad \phi (x^2,y^2,z)=0

类型. 有一个代数的例子是
(5.5)\qquad \frac{x^2}{16}+y^2+(z-x^2)^2=1

通过在 \mathbb{R}^4 中关于yoz 平面旋转，由 (5.4) 或 (5.4) 来给出的表面 S ，我们想要的 \mathbb{S}^3 到 \mathbb{R}^4 嵌入 M . 也就是说，以 x^2+w^2 代替 x^2 . 于是在 M 显然有线性高度函数，其拥有指数为 1 或 2 的非退化临界点.

？

因此，于是 M 并不是 \mathbb{S}^3 的张嵌入. 我们将会证明 M 是双片的，这得益于注意到高度函数在 M 凸包上的所有边界上的极值是最值（见定理 5. 17）. 鉴于 M 的旋转对称性，足以研究非退化线性高度函数的 \ell_q,\ q\in \mathbb{R}^3 . 甚至当 q\bot M|_Q （垂足是 Q ）时，则必定有 Q\in \mathbb{R}^3 . 如果 Q\in \partial HS ，则也有 Q\in \partial HM . 于是问题的关键在于证明 Q\notin \partial HS ，则 \ell_q 在点 Q 并不存在极值. HS 是全体水平截面 z=\text{constant} 凸包的并集. 这些可能的截面如图 5. 5 所展示，且其凸包的边界由虚线标出.

假设 Q 属于 \text{level 2, level 3} （不在截面凸包 \partial HS 的边界），那么 S 在点 Q 没有局部支撑平面，也就是说， \ell_q|_S 在点 Q 有一个指数为 1 的临界点. 于是 \ell_q|_M 在点 Q 没有极值点. 接下来，假设 Q 属于 \text{level 4} （不在截面凸包 \partial HS 的边界）. 曲面 S 在点 Q 有正的高斯曲率，以至 \ell_q|_S 在点 Q 有极值. 然而，在 \mathbb{R}^4 中关于yoz 平面旋转之下，\text{level 4} 中的两条凸曲线从 xyw-空间中的圆环清除，该圆环在 Q 没有局部支撑平面. 而且，\ell_q|_M 在点 Q 没有极值点. 于是，每个非退化高度函数 \ell_q|_M、处于 \partial HM 的极值点，由定理 5. 17 可知 M 是有双片性的. 我们知道 M 并非 1-张，因为存在有指数为 1 临界点的非退化高度函数，且 \beta_1(\mathbb{S}^3)=0 . 就半空间的交集而言，易见 M 并非 1-张. 若对于 (5.4) 的曲面由图 5. 3 旋转而得，h:=\left\{ z \geq 0\right\} ，则 h \cap M\approx \mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2 （微分同胚），且同态

H_1(\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2)=\mathbb{Z}_2\rightarrow H_1(\mathbb{S}^3)=0

并非单.

更一般地，\text{Kuiper [8, p. 221]} 证明，在相同的方法之下， \mathbb{R}^{p+q+2}（q=p 或者 q=p+1 ）中的超曲面

\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{p+1}x_i^2+\sum_{j=1}^{q}y_j^2+\left( z- \sum_{i=1}^{p+1}x_i^2\right)^2=1

(p-1)-张嵌入 \mathbb{S}^{p+q+1} ，但不是真正的张嵌入.