欧拉示性数的启发（一）
今天和同事讨论黄金多面体为什么只有五种（仅有的正 n 面体， n=4,6,8,12,20 ），于是就回忆了欧拉公式的证明。
设凸多面体 \Omega 的顶点数为 V ，棱数为 E ，面数为 F ，则满足欧拉多面体公式： V-E+F=2
所谓的欧拉示性数，即 \chi(\Omega)=V-E+F.
关于该公式的证明很多，我最先想到的还是从平面图去入手证明（大概是因为最简单）。
凸多面体等价于平面图。
我们用一个稍大的球形灯罩包住凸多面体，在多面体内放入点光源，于是多面体上的顶点和棱被投影在球形的灯罩内壁，于是投影形成了球面的一个剖分。然后再对球面施行球极投影[1]（极点选取非棱上的点），于是即可将凸多面体化为平面图。需要注意的是，球面极点被投影为无穷远点，于是极点所在的面不同于其他面的像为有界的，前者的像是无界区域。
平面图完美继承了原来多面体的顶点、棱、面，于是问题转化为证明平面图 G(V,E,F) 满足欧拉公式。所谓平面图，就是边与边“不打架”（无交点）放置在平面上 V,E\geq 3 的简单[2]连通图。
用数学归纳法证明是最自然的想法：先假设对于所有的顶点数 V\leq n 的平面图，命题成立，然后再证明对 V=n+1 也成立即可。新添加的顶点 P 有两种情况：
- P 落在某个多边形内。然后 P 与该多边形的部分顶点连接，于是形成新的边，构成了新的平面图G(V',E',F')=G(V+\Delta V,E+\Delta E,F+\Delta F)。此时满足：
\Delta V-\Delta E+\Delta F=1-\Delta E+(\Delta E-1)=0. - P 落在多边形的边上。此时增加的棱数 \Delta E=1 ，增加的面数 \Delta F=0 ，则
\Delta V-\Delta E +\Delta F =1-1+0=0. - 另外补充一点，如果我们在已有的顶点的基础上，只添加新的边，那么依然有
\Delta V-\Delta E +\Delta F =0-\Delta E+\Delta E=0.
于是总是有
\chi'=\chi +\Delta \chi =(V-E+F)+(\Delta V- \Delta E+\Delta F)=\chi
故欧拉示性数是一个不变量。
证明的主体已经完成，但我们需要说明，为什么这个不变量偏偏等于 2 ？我们从最简单的例子开始。对于圈 C=v_1v_2...v_nv_1 而言，将平面分为内外两个面，而顶点数与边数相等，故
V-E+F=n-n+2=2.
证毕。
回到我们最开始的疑问，为什么黄金多面体只有五种？这还需要借助一个关系式
qV=2E=pF
其中 p 表示黄金多面体每个面是正 p 多边形， q 表示每个顶点处与 q 条边相连。无论是 qV 还是 pF ，都是将每一条边算了两次，这就是为什么该等式成立。最后在联立方程
\begin{cases} V-E+F=2 \\ qV=2E=pF \end{cases}
最终可以得到结论，具体的计算我就不赘述了。
行文至此似乎也走到了终点。不过我关注到这样的一个简单的事实：
如果 \bm {V=E} ，那么自然有 \bm {\chi =V-E+F=F}.
此时欧拉示性数与 F 相等。我们是否总是可以构造出顶点数与边数相等的剖分呢？对于一般的二维闭曲面而言呢？我将会在下一篇文章继续讨论。
