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黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 510631） [摘要]“两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明”的思想方法和≌图概念是：⑴能放大无穷大倍的思维望远镜，⑵能透视到直线段内部形状的数学“x光机”，从而使人能一下子看到前人所不能看到的：长度不同的射（直）线；“自然数列”N（“实数集”R）外的标准无穷大自然数（实数）；等长却不等形的直线段。几何学有史2300多年来一直不知有等长不等形的直线段，从而一直不知一直线a上的直线段不一定是a的真子集。中学数学将根本不是x轴的真子集误为其真子集，就使康脱误入百年歧途推出康健离脱的百年病态“定理”：直线段可～其真子集。将R外数误为R内数使人推出病态的“高论”：射线（半平面）S沿本身平移可变为S的一部分V≌S。 [关键词]用而不知的N（R）外标准自然数(实数)；伪二重直线段；点集的内部形状；“一个不漏”的确切含义。 百年集论是统治数学王国的国王，其在数学中的地位相当于百年相对论在物理学中的地位。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。科学界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而本文指出获得图A≌B的必要条件就可百多字推翻百多年集论。人类认识自然数已有5000多年，发现无理数已有2500多年。认识（发现）自然数（无理数）后的5000（2500）年里一直无人能证明存在“更无理”的标准无穷大自然数（实数），然而语文起码常识让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准无穷大自然数（实数）推翻百年自然数公理和百年“R完备”论。世界上凡熟悉非常简单易懂的保距变换概念的中学生都能看懂本文的大部分论据。 一、图说一维空间中点集的拉伸和压缩变换是改变点集内部结构的变换 设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R⊃“自然数集”N各元x均有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各实数的绝对值都可是表示长度的数故各实数都可是数轴上点的坐标，于是x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。 骨头有骨密度，点集也应有“点密度”。将R轴各无理数点都挖去使R轴变形为有许多“空隙”的有空隙直线J不≌R轴，但肉眼不能察觉J与R轴有不同的形状。同样可将框框……内的点集（图形）K看成是有“洞”闭直线段，K各元点之间的距离都变小（但不能变到=0）就可使K均匀收缩变短；观察图K可知：直线段K保序不保距地均匀收缩变短成直线段B～K不能成为K的真子集，因这收缩变换是使点集的点密度变大的变换从而使B的内部组织结构不同于K的内部组织结构，K（B）是结构较松散(密实)的点集。这说明一维空间中点集的均匀拉伸（压缩）变换是将相比下内部结构较密实 (松散)的点集变为结构较松散(密实)的点集的变换。可见等长的直线段A与B若各有不同的内部结构则A不≌B（不同的内部结构导致有不同的内部形状），“肉眼数学”不能察觉两者有不同的内部形状。人的骨头A得了骨质疏松病变为B，肉眼看B=A，但其实两者有根本区别。出现x光机使医学发生革命飞跃。某人将一小包毒品吞进肚不会使人外部形状有任何改变而只使其内部形状改变，通过x光机才能看到人体内部形状。同样，通过数学“x光机”才能看到点集的内部形状。 二、获A≌B的必要条件就可让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面推翻百年集论 若无特别说明本文所说集合均至少有两元，“区间”是直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。因数集A各数可是数轴上点的坐标故可将A看成是点集，例“A的元点x=1”就是表示坐标为1的x轴上的点。定义：若点（数）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。 h定理1：点（数）集A=B≌B的必要条件是A≌B（相等的图必全等）。 证：若A=B则A必可恒等变换（一种保距变换）地变为B=A≌A。证毕。 h定理2（A≌B的必要条件）：点（数）集 A 各元x按同一对应法则有对应y=f（x）∈B=｛y｝，A≌B的必要条件：B=｛y｝中变量y是定义域为A的函数y=f（x），即:B各元y=f（x）,各元y=f（x）中的x=f-1（y）的全体Q=A。 证：两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。求≌A=｛x｝的集。解：A各元x按同一变换法则保距变为y=f（x）使A变为B=｛y｝≌A。所以定理中的A若≌B则B各元y必是由A各元x保距变为y=f（x）而变来的，从而使B=｛y｝中变量y只能是定义域为A的函数y=f（x），A各元与B≌A各元有一一对应关系：（A各元）x←→y=f（x）——表明B各元f（x）中的x的全体Q=A。证毕。 h定理3：至少有4元的点集W=｛x｝的真子集（至少有两元）V⊂W必不≌W。 证：V=｛x｝⊂W=｛x｝=｛y=x｝各元x有对应y=x∈W=｛y=x｝，假设V≌W成立则W各元y=x必是由V各元x保距变为y=x而变来的，从而有：V各元x←→y=x（恒等对应）使W=V（恒等变换是变回自己的变换），然而事实上W≠V⊂W，所以假设不成立即V不≌W。证毕。 h定理4：～无穷集W=｛x｝的A必≠W的真子集V⊂W（因A不≌V从而更≠V）。 证（这里百多字推翻百多年集论）：W⊃V各元x的对应y=f（x）的全体是A=｛y=f（x）｝～W，V⊂W各元x有对应f（x）∈A=｛f（x）|x的变域是W｝，据h定理2假设V≌A成立则A各元f（x）中的x的全体Q=V，然而事实上Q=W≠V⊂W，所以假设不成立即V不≌A。据h定理1V≠A。证毕。 N各元n的后继y=n+1全体H=｛1，2，3，…，y=n+1，…｝～（≌）N。据h定理4（h定理3）～（≌）N的H不是N的任何真子集，N不可包含H=｛y=n+1｝说明H必至少有一元y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0=Ω显然是N的最大元，因其后继y0在N外。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识Ω（与1∈N相隔无穷多自然数∈N）使初数一直将N外数误为N内数从而将无穷多各异假N误为N，继而一直搞错了定义域均为N的无穷多一次函数y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、...、...的值域，进而使康脱推出康健离脱的病态理论：N可～其真子集。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[1][2]。 R一切非负元x≥0组成R+。A=R+各元x≥0保距变为y=x+1≥1使A变为B=｛y｝≌（～）A即x轴的射线R+:x≥0沿x轴平移变为射线B={y=x+1≥1}≌R+。据h定理3（h定理4）≌（～）R+的B不是A=R+的任何真子集，R+不可包含B={y=x+1}说明B必有元y=x+1≥1在R+外而>R+一切元x（R+外y≥1不可<R+一切元），这R+外y=t显然是>R一切元x的“更无理”标准无穷大正数;人类由发现无理数到发现这“更无理”的t竟须历时2500多年!可见中学函数“常识”：“ R各元x的对应数x+1均∈R”使初数将R外数误为R内数，进而误以为：射线S（半平面）通过平移（刚体运动）可变为其一部分≌S。从而使康脱推出病态理论：S可～其真子集。R+有子部射线B′={x≥1}⊂R+，据≌图概念起点相同且有无穷多公共元点的射线：B′⊂R+与B={y=x+1≥1}≌R+互不≌说明两者形状相同但大小即长度不同。几何学有史2300多年来一直不知有长度不同的射线。发现“更无理”的R外±t说明有比x（R）轴长的数轴。 可见“两图是否≌不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明”的思想方法和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使人能一下子看到前人所不能看到的：长度不同的射（直）线；“自然数列”N外正自然数。上述表明获得A≌B的必要条件就可让5000（2500）年都无人能识的标准无穷大自然数（实数）一下子浮出水面推翻百年集论。 其实“对R（N）一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y=x+1>x即对R（N）一切元x都有标准数y比x大”明确表示有“更无理”数y=x+1>R（N）一切元x而在R（N）外，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。“真理都是很朴实的”，问题是非学术、非智力因素对学术研究的影响是非常重大的。可见语文起码常识让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准自然数（实数）推翻百年自然数公理和百年“R完备”论。 三、几何学一直不知直线a上的直线段不一定是a的真子集——存在等长却不等形（内部形状）的直线段 公元前1100年中国人商高同周公的一段对话谈到了勾股定理说明人类认识几何学的直线段（初等数学中最简单、基本的图形）起码已有3000多年。x轴各元点x沿x轴方向不保距平移变为点x+δ=y=2x得元为点y=2x的y=2x轴即x轴（空间直线）均匀拉伸变换成y=2x轴不≌x轴，据h定理1x轴≠y=2x轴——推翻直线公理。直线公理使中学几百年解析几何一直将这两异线误为同一线很自然地就会将两异直线段误为同一线段⊂相应直线。 长为1的直线段形橡皮筋A拉长为长为2的橡皮筋B（可二等分），去掉拉力使B缩短成原来的A，这A不可是B的一半，同样直线段K均匀收缩变短不能成为K的一部分（参见第一节）。按“橡皮几何学”观点x轴可弹性伸缩变换。有一直线形的无穷长橡皮筋E,将E的一部分：长为1的橡皮筋U⊂E拉长成长度为2的橡皮筋V。显然V不能是E的一部分。同样，...。 直线段L=[0，2]⊂x轴的子部线段Z=｛x｝=[0，1]⊂L各元点x不保距变为点x+δ=y=2x得元为点y的...，即直线段Z均匀伸长变换成元为点y=2x的线段L′（～Z）=｛y=2x｝=[0，2]⊂y=2x轴。几百年解析几何一直认定“～Z的L′=L≌L”，其实这是肉眼直观错觉。理由：⑴L′各元y=2x中的x的全体是Z=｛x｝⊂L说明L′各元y=2x中的x均∈L，据h定理2假设L≌L′成立则L′=｛y=2x|x的变域是Z｝各元y=2x中的x的全体Q= L，然而事实上Q=Z⊂L，所以假设不成立即L不≌L′，据h定理1L≠L′。据≌图概念等长的L′与L互不≌说明两者大小相同形状（内部形状）不同，从而是3000年都无人能识的貌似重合的伪二重、伪≌点集；有了数学“x光机”才能透视到点集的内部形状和结构。出现医学（数学）x光机使医学（数学）发生革命飞跃。⑵长为1的Z=[0，1]⊂x轴均匀伸长变换成线段L′～Z是改变点集内部结构的变换从而使L′与x轴有不同的内部结构（不同的内部结构导致有不同的内部形状），而L⊂x轴与x轴有相同的内部结构。（3）“对L′一个不漏的一切正数元y=2x>x都有对应数x（属于L）<y=2x即对L′一切正数元2x>0都有正数x比2x小”明确表示有“更无理”正数x（∈L）小于L′一切正数2x，关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含义。这说明附着在x轴上的L′不是x轴的一部分，同理，L′=｛y=2x｝⊂y=2x轴均匀收缩变短成Z（⊂L）～L′不能成为L′的真子集。 以上说明一直线a的子部直线段U（与a形状相同只是长度不同）均匀拉伸成比U长的直线段V～U与U有不同的内部形状，从而使V～U不是a的真子集。几何学有史2300多年来一直不知有内部形状不同的直线，从而一直不知一直线a上的直线段不一定是a的真子集。在一铁线T（由铁分子组成）上涂上油漆i，附着在T上的i不是T的组成成员；同样，可证明附着在直线a上的点不一定是a的组成成员。中学数学将根本不是x轴的真子集误为其真子集就使康脱误入百年歧途推出病态的：直线段可～其真子集。 四、结束语 将前所未知的N（R）外数误为已熟知的N（R）内数就会引出一连串的重大错误，但限于篇幅本文只能挂一漏万了。以上表明数学家们在打基础的中学阶段就受到了影响自己一生的重大误导教育而又一直被蒙在鼓里，从而受害终生。例使“天才”康脱误入百年歧途推出百年病态谬论“部分可=全部”。“基础不牢地动山摇”。注：本文已在预印本上公布。 参考文献 [1]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。 [2]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。 [3]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。 |
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